圆环问题
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圆环问题的简单思考。
小人停留在橡皮环的某一点,橡皮环初始周长为 米,然后小人在环上行走,速度为 。但橡皮环每 秒后,又会瞬间均匀拉伸 米,问小人能否回到起点?
分析:小人第 秒走了 米,橡皮环伸长后相当于走了全长的
同理,第二秒走了全长的
那么 秒后走了全长的
这是一个调和级数,必然存在 ,使得 ,显然可以回到起点。
数 叫做调和数,其和叫做调和和。下面近似式中的误差趋向于 ,这个值被称为 欧拉常数。
圆环问题的简单思考。
小人停留在橡皮环的某一点,橡皮环初始周长为 100 米,然后小人在环上行走,速度为 1m/s。但橡皮环每 1 秒后,又会瞬间均匀拉伸 100 米,问小人能否回到起点?
分析:小人第 1 秒走了 1 米,橡皮环伸长后相当于走了全长的
2002=1001
同理,第二秒走了全长的
1001+2001
那么 n 秒后走了全长的
Pn=1001+2001+3001+...+100n1=1001(1+21+31+41+...+n1)=1001i=1∑ni1=1001Hn
这是一个调和级数,必然存在 n,使得 Pn⩾1,显然可以回到起点。
数 HN 叫做调和数,其和叫做调和和。下面近似式中的误差趋向于 γ≈0.57721566,这个值被称为 欧拉常数。
HN=i=1∑Ni1≈lnN
HN=i=1∑Ni1=lnN+γ (n→∞)