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矩阵分解：EVD 和 SVD

Alex Sun2023年2月27日AI线性代数AI线性代数SVD大约 8 分钟

特征值分解（EVD）和奇异值分解（SVD）简单总结。

1. 矩阵分解

矩阵分解的作用：[1]

2. 特征分解

2.1 特征值和特征向量

如果一个向量 v\boldsymbol{v} 是矩阵 A\boldsymbol{A} 的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

Av=λv \boldsymbol{A}\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}

其中，λ\lambda 是特征向量 v\boldsymbol{v} 对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

2.2 特征值分解

对于矩阵 A\boldsymbol{A}，有一组特征向量 v\boldsymbol{v}，将这组向量进行正交化单位化，就能得到一组正交单位向量。特征值分解（Eigenvalue decomposition，EVD），就是将矩阵 A\boldsymbol{A} 分解为如下式：

A=QΣQ−1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{Q^{-1}}

其中，Q\boldsymbol{Q} 是矩阵 A\boldsymbol{A} 的特征向量组成的矩阵，Σ\boldsymbol{\Sigma} 则是一个对角阵，对角线上的元素就是特征值。

解特征值的方式很简单，通过定义我们可以得到

∣A−λI∣=0 \left| \boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{I} \right| = 0

其中 I\boldsymbol{I} 为单位矩阵。

通过特征方程得到特征值，从而求出特征向量。

特征值分解示例

定义方阵 A\boldsymbol{A} 为

A=[−110−430102] \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

下面对 A\boldsymbol{A} 进行特征值分解。

首先，由方阵 A\boldsymbol{A} 的特征方程，求出特征值：

∣A−λI∣=∣−1−λ10−43−λ0102−λ∣=(2−λ)∣−1−λ1−43−λ∣=(2−λ)(λ−1)2=0 \begin{aligned} \left| \boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{I} \right| &= \begin{vmatrix} -1 - \lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= \left(2 - \lambda\right)\begin{vmatrix} -1 - \lambda & 1 \\ -4 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= (2 - \lambda)(\lambda - 1)^2 \\ &= 0 \end{aligned}

解得 λ=1, 2\lambda = 1,\,2，其中 11 为重根。

当 λ=2\lambda = 2 时，求出 A−2I\boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{I}，过程如下

A−2I=[−310−410100]→[100010000] \begin{aligned} \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{I} &= \begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ &\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

解得 x1=0x_1 = 0，x2=0x_2 = 0，取特征向量为 v1=[001]v_1 = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}。

同理当 λ=1\lambda = 1 时，特征向量为 v2=[−1−21]v_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix}。

方阵 A\boldsymbol{A} 的特征分解为

A=QΣQT=[0−1−10−2−2111][200010001][0−1−10−2−2111]−1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{Q}^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1}

2.3 Python 实现特征值分解

SymPy 和 NumPy 均支持特征值分解，但 SymPy 是符号解，是精准值但更慢，适合研究。而 NumPy 为数值解，更快但有精度损失，适合生产。

SymPy 进行特征值分解：

from sympy import Matrix

A = Matrix([[-1, 1, 0], [-4, 3, 0], [1, 0, 2]])

print(A.eigenvals())
# {1: 2, 2: 1}，特征值和其重根数量

print(A.eigenvects())
# [
#   (1, 2, [ Matrix([[-1], [-2], [ 1]]) ]),
#   (2, 1, [ Matrix([[0],  [0],  [1] ]) ]),
# ]

矩阵的 .eigenvects() 方法返回列表，每个列表是一个三元组，分别代表特征值、特征值的重根数和特征向量。

使用 NumPy 进行特征值分解：

import numpy as np

A = np.array([[-1, 1, 0], [-4, 3, 0], [1, 0, 2]])
vals, vecs = np.linalg.eig(A)

print(vals)
# [2. 1. 1.]

print(vecs)
# [[ 0.          0.40824829  0.40824829]
#  [ 0.          0.81649658  0.81649658]
#  [ 1.         -0.40824829 -0.40824829]]

这里的特征向量和 SymPy 计算有所不同是因为 NumPy 进行了单位化。

3. SVD 分解

3.1 奇异值分解

特征值分解只能用于方阵，我们下面要介绍的 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）就是可以解决这个问题。

奇异值分解也有各种各样的用途：用 SVD 解 PCA、潜在语言索引也依赖于 SVD 算法。可以说，SVD 是矩阵分解、降维、压缩、特征学习的一个基础的工具，因而 SVD 在机器学习领域也相当的重要。

奇异值分解是一个能适用于任意矩阵的一种分解的方法，对于任意矩阵 A\boldsymbol{A} 总是存在一个奇异值分解：

A=UΣVT \boldsymbol{A} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}}

若 A\boldsymbol{A} 是一个 m×nm \times n 的矩阵，那么得到的 U\boldsymbol{U} 是一个 m×mm \times m 方阵，U\boldsymbol{U} 里面的正交向量被称为左奇异向量。Σ\boldsymbol{\Sigma} 是一个 m×nm \times n 的矩阵，且 Σ\boldsymbol{\Sigma} 是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。V\boldsymbol{V} 是 n×nn \times n 矩阵，且 UU 和 VV 都是酉矩阵。

那么我们如何计算左奇异向量、右奇异向量和奇异值呢？我们可以把奇异值和特征值联系起来。

首先，我们用矩阵 A\boldsymbol{A} 的转置乘 A\boldsymbol{A}，得到一个方阵，这样我们可以用方阵进行特征分解，得到特征值和特征向量满足下面的等式：

(ATA)vi=λivi \left(\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{v}_i = \lambda_i\boldsymbol{v}_i

这里的 vi\boldsymbol{v}_i 就是右奇异向量，同理我们用下面的等式得到左奇异向量 ui\boldsymbol{u}_i：

(AAT)ui=λiui \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\right)\boldsymbol{u}_i = \lambda_i\boldsymbol{u}_i

当然以上结论只是我们的设想，下面进行证明，如果对证明细节不感兴趣可以忽略。

证明

A=UΣVT⇒AT=VΣTUT⇒ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT \begin{aligned} && \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}} \\ & \Rightarrow & \boldsymbol{A}^{\mathsf{T}} &= \boldsymbol{V}\boldsymbol{\Sigma}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{U}^{\mathsf{T}} \\ & \Rightarrow & \boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} &= \boldsymbol{V}\boldsymbol{\Sigma}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{U}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}} \\ &&&= \boldsymbol{V}\boldsymbol{\Sigma}^{2}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}} \end{aligned}

提示：若 U\boldsymbol{U} 是实矩阵，且 UTU=I\boldsymbol{U}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{I}，那么 U\boldsymbol{U} 是实对称矩阵。

从上面的结论可以看出 ATA\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} 的特征向量就是 SVD 中的 V\boldsymbol{V} 矩阵。同理 AAT\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}} 的特征矩阵为 U\boldsymbol{U}。

从证明中，我们得出求出奇异值的两种方法：

第一种方式是通过 Avi=σiui\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}_i = \sigma_i\boldsymbol{u}_i 得到 σi=AviuiT\sigma_i = \boldsymbol{A}\boldsymbol{v_i}\boldsymbol{u}_i^{\mathsf{T}}

第二种是通过 ATA=VΣ2VT\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{V}\boldsymbol{\Sigma}^{2}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}} 得出结论，特征值矩阵等于奇异值矩阵平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系

σi=λi \sigma_i = \sqrt{\lambda_i}

奇异值分解示例

矩阵 A\boldsymbol{A} 定义为

A=[011110] \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

首先计算 ATA\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} 和 AAT\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}：

ATA=[011110][011110]=[2112] \boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

AAT=[011110][011110]=[110121011] \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

然后，求出 ATA\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} 和 AAT\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}} 的特征值和特征向量：

  1. ATA\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A} 的特征值和特征向量

    λ1=3, v1=[1/21/2] \lambda_1 = 3,\, \boldsymbol{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{bmatrix}

    λ2=1, v2=[−1/21/2] \lambda_2 = 1,\, \boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{bmatrix}

  2. AAT\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}} 的特征值和特征向量

    λ1=3, u1=[1/62/61/6] \lambda_1 = 3,\, \boldsymbol{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{bmatrix}

    λ2=1, u2=[1/20−1/2] \lambda_2 = 1,\, \boldsymbol{u}_2 = \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{bmatrix}

    λ3=0, u3=[1/3−1/31/3] \lambda_3 = 0,\, \boldsymbol{u}_3 = \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{3} \\ -1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \end{bmatrix}

其次，我们利用 Avi=σiui\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}_i = \sigma_i\boldsymbol{u}_i，i=1, 2i = 1,\,2，求奇异值：

[011110][1/21/2]=σ1[1/62/61/6]⇒σ1=3 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{bmatrix} = \sigma_1 \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{bmatrix} \Rightarrow \sigma_1 = \sqrt{3}

[011110][1/2−1/2]=σ2[1/20−1/2]⇒σ2=1 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} \end{bmatrix} = \sigma_2 \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{bmatrix} \Rightarrow \sigma_2 = 1

当然，最简单的方式是直接利用结论 σi=λi\sigma_i = \sqrt{\lambda_i} 得出奇异值。

最后，我们得到 A\boldsymbol{A} 的奇异值分解为

A=UΣVT=[1/61/21/32/60−1/31/6−1/21/3][300100][1/21/2−1/21/2] \boldsymbol{A} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \\ 2 / \sqrt{6} & 0 & -1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{bmatrix}

此时 Σ\boldsymbol{\Sigma} 不为方阵，最后一行一定为 00，我们可以直接将其删去，因此也不需要计算最后一个特征值为 00 的特征向量。直接写为：

A=UΣVT=[1/61/22/601/6−1/2][3001][1/21/2−1/21/2] \boldsymbol{A} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{2} \\ 2 / \sqrt{6} & 0 \\ 1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{bmatrix}

3.2 Python 实现奇异值分解

这里还是使用 SymPy 进行符号解和 NumPy 进行数值解两种方法。

SymPy 有求奇异值和奇异值分解的方法：

from sympy.matrices import Matrix

A = Matrix([[0, 1], [1, 1], [1, 0]])

print(A.singular_values())
# [sqrt(3), 1]

U, S, VH = A.singular_value_decomposition()
print(U)
# Matrix([[sqrt(2)/2, sqrt(6)/6],
#         [0, sqrt(6)/3],
#         [-sqrt(2)/2, sqrt(6)/6]])

print(S)
# Matrix([[1, 0],
#         [0, sqrt(3)]])

print(VH)
# Matrix([[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2],
#         [sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]])

下面是 NumPy 进行奇异值分解的方法：

import numpy as np

A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 0]])
U, S, VH = np.linalg.svd(A)

print(U)
# [[-4.08248290e-01  7.07106781e-01  5.77350269e-01]
#  [-8.16496581e-01  2.64811510e-17 -5.77350269e-01]
#  [-4.08248290e-01 -7.07106781e-01  5.77350269e-01]]

print(S)
# [1.73205081 1.        ]

print(VH)
# [[-0.70710678 -0.70710678]
#  [-0.70710678  0.70710678]]

  1. 机器学习中 SVD 总结，Microstrong，https://mp.weixin.qq.com/s/Dv51K8JETakIKe5dPBAPVg ↩︎