行列式

线性代数系列。

• 1. 全排列及其逆序数
• 2. 阶行列式的定义
• 3. 行列式的性质

1. 全排列及其逆序数

定义 把 $n$ 个不同的元素排成一列，叫做这 $n$ 个元素的 全排列（简称 排列）。

由乘法原理可得，互异元素 $p_1,\, p_2,\, \cdots,\, p_n$ 的不同排列有 $n!$ 种。

对于 $n$ 个不同的元素，我们可用规定各个元素之间有一个标准次序，例如 $n$ 个不同的自然数可规定从小到大是标准次序。

定义 在 $n$ 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就称这一对元素构成一个 逆序。一个排列中逆序的总数称为这个排列的 逆序数。

排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 的逆序数记作 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)$。当 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)$ 为偶数时，称这个排列为 偶排列；当 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)$ 为奇数时，称这个排列为 奇排列。特殊地，当 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n) = 0$ 时，称这个排列为 标准排列。

定义 在一个排列中，把任意两个元素对换，得到一个新的排列，称为原排列的一个 对换。相邻两个元素的对换称为 相邻对换。

定理 1 对换改变排列的奇偶性。

推论 1 奇排列变为标准排列需要奇数次对换，偶排列变为标准排列需要偶数次对换。

推论 2 在全部 $n$ 个元素构成的排列中（$n \geqslant 2$），奇排列和偶排列的个数相等，各有 $n! / 2$ 个。

2. $n$ 阶行列式的定义

3. 行列式的性质

性质 1 行列式与它的转置行列式相等，即 $D = D^\mathsf{T}$。

证明

令 $b_{ij} = a_{ji}$（$i,\,j = 1,\, 2,\, \cdots,\, n$），则

$$\begin{aligned} D^{\mathsf{T}} &= \begin{vmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1} \\ b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \sum_{(p_1 p_2 \cdots p_n)} (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} b_{1p_1} b_{2p_2} \cdots b_{np_n} \\ &= \sum_{(p_1 p_2 \cdots p_n)} (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{p_1 1} a_{p_2 2} \cdots a_{p_n n} \\ &= D \end{aligned}$$