均值不等式

下面讨论的内容均在实数范围内，不涉及复数或其他领域。

1. 基本不等式

基本不等式 是均值不等式的一个特例。

对于任意非负实数 $a,\, b$ 有

\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 \geqslant 0

那么有

\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}

当且仅当 $a = b$ 时取等号。

在引出均值不等式之前，我们先引出几种常见的平均数。

定义调和平均数 $H_n$

\begin{aligned} H_n &= \frac{n}{\sum_{i=1}^n 1/x_i } \\ &= \frac{n}{1/x_1 + 1 / x_2 + \cdots + {1}/{x_n} } \end{aligned}

定义几何平均数 $G_n$

\begin{aligned} G_n &= \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \\ &= \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \end{aligned}

定义算数平均数 $A_n$

\begin{aligned} A_n &= \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \\ &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \end{aligned}

定义平方平均数 $Q_n$

\begin{aligned} Q_n &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} } \\ &= \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} } \end{aligned}

均值不等式定义为

H_n \leqslant G_n \leqslant A_n \leqslant Q_n

即

\frac{n}{1 / x_1 + 1 / x_2 + \cdots + 1 / x_n } \leqslant \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \leqslant \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \leqslant \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} }

证明均值不等式的方法有数学归纳法、琴生不等式、柯西不等式、构造几何法等方法，这里不再讨论，详细信息可以自行搜索。^[1]

均值不等式最实用的推论是 $n = 2$ 时的形式：

\frac{2}{1/a + 1/b} \leqslant \sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2} }

可以发现基本不等式是其中的一个不等式。

这里不进行证明，仅给出一些启发和思路。

构造

f(r) = \left(\dfrac{a_1^r + a_2^r + \cdots + a_n^r}{n}\right)^{1/r}

可以证明， $r = 0$ 时 $f(r)$ 存在可去间断点，若定义

g(r) = \lim_{k \rightarrow r} f(k)

那么可得到 $r$ 取 $-1,\,0,\,1,\,2$ 时 $g(r)$ 分别对应为调和平均数，几何平均数，算数平均数和平方平均数。

下面进行推广，定义

D(r) = \begin{cases} \left(\dfrac{a_1^r + a_2^r + \cdots + a_n^r}{n}\right)^{1/r} = \left(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a^r_i\right)^{1/r}, & r \neq 0 \\ \left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{1/n} = \left(\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i\right)^{1/n}, & r = 0 \end{cases}

得到

D(-\infty) = \lim_{r \to -\infty}D(r) = \min_{1 \leqslant i \leqslant n}\{a_i\}

D(+\infty) = \lim_{r \to +\infty}D(r) = \max_{1 \leqslant i \leqslant n}\{a_i\}

D(-1) = H_n,\, D(0) = G_n,\, D(1) = A_n,\, D(2) = Q_n

可以证明 $D(r)$ 在 $\left[-\infty,\, +\infty\right]$ 上单调递增。此结论被称为幂平均在新窗口打开，幂平均还有加权和积分形式。^[2]