柯西不等式

1. 柯西不等式表述

设 $a \in \R,\, i = 1,\,2,\,\cdots,\,n$ 则

$$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leqslant \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2$$

当且仅当 $a_i = kb_i$（$k$ 为常数，$i = 1,\,2,\,\cdots,\,n$）时取等号。

证明

要证柯西不等式，只要证

$$\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 - \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \geqslant 0$$

只要证

$$\left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\right) \left(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2\right) - \left(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n\right)^2 \geqslant 0$$

将上式拆项、整理得（此处省略拆项过程）

$$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \left(a_i^2b_j^2 + a_j^2b_i^2 - 2a_ia_jb_ib_j\right) \geqslant 0$$

那么，只要证

$$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \left(a_ib_j - a_jb_i\right)^2 \geqslant 0$$

显然成立，当且仅当 $a_ib_j = a_jb_i$ 成立，即 $a_i = kb_i$（$k$ 为常数，$i = 1,\,2,\,\cdots,\,n$）时取等号。

2. 重要结论

推论 1 设 $a_i \in \R$，则

$$\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n} \leqslant \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n a_i^2}{n} }$$

这个结论其实也是均值不等式的一个公式。

证明

令 $b_i = 1/n$，那么柯西不等式变形为

$$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 \leqslant \frac{n}{n^2} \sum_{i=1}^n a_i^2$$

两边开根号得

$$\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n} \leqslant \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n a_i^2}{n} }$$

推论 2 设 $x_i \in \R,\,y_i > 0$，则

$$\sum_{i=1}^n y_i\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{y_i} \geqslant \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2$$

这是柯西不等式的分数形式，也是权方和不等式的一个特例。

证明

令 $a_i = \dfrac{x_i}{\sqrt{y_i} },\,b_i = \sqrt{y_i}$，则柯西不等式变形为

$$\sum_{i=1}^n y_i\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{y_i} \geqslant \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2$$

结论得证。

附录：构造函数证明柯西不等式

注意到柯西不等式是 $ac \geqslant b^2$ 的结构，可以构造二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，于是构造如下的二次函数：

$$f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + 2 \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)x + \sum_{i=1}^n b_i^2$$

注意到这个二次函数可以变形为：

$$f(x) = \sum_{i=1}^n \left(a_ix + b_i\right)^2$$

于是有 $f(x) \geqslant 0$，所以其判别式恒小于等于 $0$，即：

$$\left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - 4\sum_{i=1}^n a_i^2\sum_{i=1}^n b_i^2 \leqslant 0$$

变形即得柯西不等式。