矩阵变换

• 1. 仿射变换
  • 1.1 公式
  • 1.2 原理
  • 1.3. 用途
• 2. 投影变换

1. 仿射变换

仿射变换（Affine Transformation）是一种二维平面几何变换，它保持了平行线的性质，但不一定保持长度和角度。仿射变换可以由以下几种基本变换组合得到：平移、缩放、旋转和错切。

1.1 公式

在二维空间中，仿射变换可以表示为一个 2x2 矩阵 $A$ 和一个 2x1 向量 $B$ 的形式：

$$x' = Ax + B$$

其中，$x$ 和 $x'$ 分别表示变换前后的二维坐标向量，具体形式如下：

$$x' = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix}$$

在三维空间中，仿射变换可以表示为一个 3x3 矩阵 $A$ 和一个 3x1 向量 $B$ 的形式：

$$x' = Ax + B$$

其中，$x$ 和 $x'$ 分别表示变换前后的三维坐标向量，具体形式如下：

$$x' = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} j \\ k \\ l \end{bmatrix}$$

1.2 原理

仿射变换的基本原理是通过矩阵乘法实现对坐标的变换。对于二维空间，2x2 矩阵 $A$ 负责实现缩放、旋转和错切变换，2x1 向量 $B$ 负责实现平移变换。对于三维空间，同样的原理适用于 3x3 矩阵 $A$ 和 3x1 向量 $B$。

1.3. 用途

仿射变换在许多领域都有广泛应用，例如计算机图形学、图像处理、机器人学和地理信息系统等。以下是一些常见的应用场景：

• 图像处理：仿射变换可以用于图像的变换操作，如旋转、缩放、平移以及透视矫正等。
• 计算机图形学：在 3D 渲染中，仿射变换可以用于实现场景中物体的变换，如旋转、缩放和平移等。
• 机器人学：仿射变换可用于表示机器人关节的运动和变换。
• 地理信息系统：仿射变换可用于地图投影和坐标转换等操作。

总之，仿射变换作为一种通用的几何变换，在许多领域都有重要的应用价值。

2. 投影变换

设 $(X,\, Y,\, Z)$ 和 $(x,\, y,\, z)$ 分别表示世界坐标系和相机坐标系中的点，投影变换可以表示为：

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

可以得出

$$\begin{cases} X &= a_{11}x + a_{12}y + a_{13} \\ Y &= a_{21}x + a_{22}y + a_{23} \\ Z &= a_{31}x + a_{32}y + a_{33} \end{cases}$$

投影后的点 $(x',\, y')$ 可以表示为：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X / Z \\ Y / Z \end{bmatrix}$$

透视变换可以通过四个点的变换前后位置来确定，在 OpenCV 中可以使用 getPerspectiveTransform(srcQuad, dstQuad, mat) 函数来计算透视变换矩阵，使用 warpPerspective(src, dst, mat) 函数来实现透视变换。